引言 在线性代数中，正定矩阵、合同矩阵和正交矩阵是三个关键概念，它们在数学理论和应用领域中扮演着重要角色。
本文将系统性地总结这些概念的定义、性质以及相互关系，并探讨实对称矩阵的特殊性质。
1. 正定矩阵 定义 一个 n×nn \times nn×n 的 实对称矩阵 AAA 称为正定矩阵，如果对于任意非零向量 x∈Rn\mathbf{x} \in \mathbb{R}^nx∈Rn ，都有： xTAx>0{x}^T A {x} > 0xTAx>0 对于复数域，厄米特矩阵 AAA （满足 AH=AA^H = AAH=A ）是正定的，如果对任意非零向量 z∈Cn\mathbf{z} \in \mathbb{C}^nz∈Cn ，有 zHAz>0\mathbf{z}^H A \mathbf{z} > 0zHAz>0 。
性质与等价条件 正定矩阵具有以下重要性质，其中许多可互相等价： 特征值全为正实数 行列式为正 ： det(A)>0\det(A) > 0det(A)>0 各阶顺序主子式为正 （Sylvester准则） 可逆且逆矩阵也正定 可进行Cholesky分解 ： A=LLTA = LL^TA=LLT ，其中 LLL 为下三角矩阵且对角元为正 与单位矩阵合同 ：存在可逆矩阵 PPP ，使得 A=PTPA = P^T PA=PTP 主对角线元素全为正 正定矩阵的和仍为正定 几何意义 正定矩阵对应的二次型 xTAx\mathbf{x}^T A \mathbf{x}xTAx 在非零向量上恒正，其等值面 xTAx=1\mathbf{x}^T A \mathbf{x} = 1xTAx=1 是一个椭球面。
在优化中，正定Hessian矩阵保证严格局部极小值。
2. 合同矩阵 定义 两个 n×nn \times nn×n 的实对称矩阵 AAA 和 BBB 称为合同的，如果存在可逆矩阵 PPP ，使得： [ B = P^T A P. ] 对于复矩阵，合同定义为 B=PHAPB = P^H A PB=PHAP ，其中 A,BA, BA,B 为厄米特矩阵。
核心定理：惯性定理 西尔维斯特惯性定理指出，实对称矩阵在合同变换下，其惯性指数 (p,q,r)(p, q, r)(p,q,r) 保持不变： ppp ：正特征值个数 qqq ：负特征值个数 rrr ：零特征值个数（ r=n−rank(A)r = n - \text{rank}(A)r=n−rank(A) ） 因此， 两实对称矩阵合同当且仅当它们有相同的惯性指数 。
合同 vs 相似 相似 ： B=P−1APB = P^{-1} A PB=P−1AP ，要求特征值完全相同（包括重数） 合同 ： B=PTAPB = P^T A PB=PTAP ，只要求惯性指数相同 对于实对称矩阵， 相似必合同，但合同未必相似 。
例如 diag(1,1)\text{diag}(1,1)diag(1,1) 与 diag(4,1)\text{diag}(4,1)diag(4,1) 合同但不相似。
3. 实对称矩阵的特征向量正交性 定理 实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交。
证明概要 设 Av1=λ1v1A\mathbf{v}_1 = \lambda_1 \mathbf{v}_1Av1=λ1v1 ， Av2=λ2v2A\mathbf{v}_2 = \lambda_2 \mathbf{v}_2Av2=λ2v2 ，且 λ1≠λ2\lambda_1 \neq \lambda_2λ1=λ2 。
利用 AT=AA^T = AAT=A 可得： [ \lambda_2 \mathbf{v}_1^T \mathbf{v}_2 = \lambda_1 \mathbf{v}_1^T \mathbf{v}_2, ] 因此 (λ2−λ1)v1Tv2=0(\lambda_2 - \lambda_1) \mathbf{v}_1^T \mathbf{v}_2 = 0(λ2−λ1)v1Tv2=0 ，推出 v1Tv2=0\mathbf{v}_1^T \mathbf{v}_2 = 0v1Tv2=0 ，即正交。
意义 该性质是 谱定理 的基础：任何实对称矩阵都可被正交矩阵对角化，即存在正交矩阵 QQQ 使 QTAQ=ΛQ^T A Q = \LambdaQTAQ=Λ （对角矩阵）。
4. 正交矩阵 定义 实方阵 PPP 称为正交矩阵，如果： [ P^T P = P P^T = I, ] 即 PT=P−1P^T = P^{-1}PT=P−1 。
名称由来 正交矩阵的列向量（及行向量）构成 标准正交基 ：彼此正交且长度为1。
设 P=[p1,…,pn]P = [\mathbf{p}_1, \ldots, \mathbf{p}_n]P=[p1,…,pn] ，则： [ \mathbf{p}_i \cdot \mathbf{p} j = \delta {ij}. ] 因此“正交矩阵”得名于其列向量的正交性。
常见混淆澄清 向量正交 ：两个向量 u,v\mathbf{u}, \mathbf{v}u,v 正交指 u⋅v=0\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0u⋅v=0 正交矩阵 ：矩阵 PPP 满足 PTP=IP^T P = IPTP=I ，而非 PTP=0P^T P = 0PTP=0 性质 保持内积和长度： (Px)⋅(Py)=x⋅y(P\mathbf{x}) \cdot (P\mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}(Px)⋅(Py)=x⋅y 行列式为 ±1\pm 1±1 对应旋转或反射变换 总结 正定矩阵、合同矩阵和正交矩阵是线性代数的支柱概念： 正定矩阵 刻画了二次型的正定性，与凸优化紧密相关 合同矩阵 描述了二次型在可逆线性替换下的等价类，由惯性指数完全分类 正交矩阵 代表了保持内积的线性变换，常用于坐标变换和数值稳定算法 实对称矩阵的特征向量正交性则连接了这些概念，确保了实对称矩阵可正交对角化，为许多理论（如主成分分析）提供了数学基础。
理解这些概念及其相互关系，对于深入掌握线性代数及其在科学计算、机器学习等领域的应用至关重要。