1.非负简单函数的积分
1.对于可测集
E⊂RnE\subset R^nE⊂Rn
上的非负简单函数
φ\varphiφ
,若其标准表达式为
φ(x)=∑i=1kciχEi(x),(x∈E=⋃i=1kEi)\varphi(x)=\sum_{i=1}^{k}c_i\chi_{E_i}(x),(x\in E = \bigcup_{i=1}^{k}E_i)φ(x)=i=1∑kciχEi(x),(x∈E=i=1⋃kEi)
其中
CiC_iCi
为非负实数,
EiE_iEi
为可测集,当
i≠ji\neq ji̸=j
时有
Ei∩Ej=∅E_i\cap E_j=\emptysetEi∩Ej=∅
,称广义实数
∑i=1kcimEi\sum_{i=1}^{k}c_i mE_ii=1∑kcimEi
(注意
mEi=∞mE_i=\inftymEi=∞
时,适用关于
∞\infty∞
的运算约定)为
φ\varphiφ
在
EEE
上的Lebesgue积分,记为
(L)∫Eφ(x)dx(L)\int_E\varphi(x)dx(L)∫Eφ(x)dx
.
2.非负简单函数积分的性质
1.
0≤∫Eφ(x)dx≤∞0\leq\int_E\varphi(x)dx\leq \infty0≤∫Eφ(x)dx≤∞
.
2.
∫Ecφ(x)dx=c∫Eφ(x)dx(c为非负实数)\int_Ec\varphi(x)dx=c\int_{E}\varphi(x)dx(c为非负实数)∫Ecφ(x)dx=c∫Eφ(x)dx(c为非负实数)
.
3.
∫E(φ(x)+ψ(x))dx=∫Eφ(x)dx+∫Eψ(x)dx\int_E (\varphi(x)+\psi(x))dx=\int_{E}\varphi(x)dx+\int_{E}\psi(x)dx∫E(φ(x)+ψ(x))dx=∫Eφ(x)dx+∫Eψ(x)dx
.
4.若
E=A∪B,A∩B=∅,A,B∈ME=A\cup B,A\cap B=\emptyset,A,B\in ME=A∪B,A∩B=∅,A,B∈M
,则
∫Eφ(x)dx=∫Aφ(x)dx+∫Bφ(x)dx\int_{E}\varphi(x)dx=\int_{A}\varphi(x)dx+\int_{B}\varphi(x)dx∫Eφ(x)dx=∫Aφ(x)dx+∫Bφ(x)dx
5.若
φ(x)≤ψ(x)(x∈E)\varphi(x)\leq \psi(x)(x \in E)φ(x)≤ψ(x)(x∈E)
,则
∫Eφ(x)dx≤∫Eψ(x)dx\int_E\varphi(x)dx\leq\int_{E}\psi(x)dx∫Eφ(x)dx≤∫Eψ(x)dx
.
3.非负可测函数的积分
1.设
fff
是可测集
E⊂RnE\subset R^nE⊂Rn
上的非负可测函数,{
φk\varphi_kφk
}是收敛于
fff
的非负简单函数的(对
kkk
的)递增列,即每个
φk\varphi_kφk
是
EEE
上的简单函数,且
0≤φ1(x)≤φ2(x)≤...≤φk(x)≤φk+1(x)≤...(≤f(x)),0\leq \varphi_1(x)\leq\varphi_2(x)\leq...\leq\varphi_k(x)\leq\varphi_{k+1}(x)\leq...(\leq f(x)),0≤φ1(x)≤φ2(x)≤...≤φk(x)≤φk+1(x)≤...(≤f(x)),
limk→∞φk(x)=f(x),(x∈E), \lim_{k \to \infty}\varphi_k(x)=f(x),(x\in E),k→∞limφk(x)=f(x),(x∈E),
则称极限
limk→∞∫Ef(x)dx\lim_{k \to \infty }\int_Ef(x)dxk→∞lim∫Ef(x)dx
(有限实数或
+∞+\infty+∞
)为函数
fff
在
EEE
上的Lebesgue积分,记为
∫Ef(x)dx\int_Ef(x)dx∫Ef(x)dx
(或在积分号前加
(L)(L)(L)
).
2.设
φ\varphiφ
和所有
ψk(k=1,2,....)\psi_k(k=1,2,....)ψk(k=1,2,....)
都是可测集
E⊂RnE\subset R^nE⊂Rn
上的非负简单函数,并且当
x∈Ex\in Ex∈E
时,
ψk(x)≤ψk+1(k=1,2,...),\psi_k(x)\leq\psi_{k+1}(k=1,2,...),ψk(x)≤ψk+1(k=1,2,...),
且
φ(x)≤limk→∞ψk(x),\varphi(x)\leq\lim_{k \to \infty}\psi_k(x),φ(x)≤k→∞limψk(x),
则有
∫Eφ(x)dx≤limk→∞∫Eψk(x)dx\int_E\varphi (x)dx\leq\lim_{k \to \infty}\int_E\psi_k(x)dx∫Eφ(x)dx≤k→∞lim∫Eψk(x)dx
4.非负可测函数积分的性质
1.
0≤∫Ef(x)dx≤∞0\leq\int_Ef(x)dx\leq \infty0≤∫Ef(x)dx≤∞
.
2.
∫Ecf(x)dx=c∫Ef(x)dx(c为非负实数)\int_Ecf(x)dx=c\int_{E}f(x)dx(c为非负实数)∫Ecf(x)dx=c∫Ef(x)dx(c为非负实数)
.
3.
∫E(f(x)+g(x))dx=∫Ef(x)dx+∫Eg(x)dx\int_E (f(x)+g(x))dx=\int_{E}f(x)dx+\int_{E}g(x)dx∫E(f(x)+g(x))dx=∫Ef(x)dx+∫Eg(x)dx
.
4.若
E=E1∪E2,E1∩E2=∅,E1,E2可测E=E_1\cup E_2,E_1\cap E_2=\emptyset,E_1,E_2可测E=E1∪E2,E1∩E2=∅,E1,E2可测
,则
∫Ef(x)dx=∫E1f(x)dx+∫E2f(x)dx\int_{E}f(x)dx=\int_{E_1}f(x)dx+\int_{E_2}f(x)dx∫Ef(x)dx=∫E1f(x)dx+∫E2f(x)dx
5.若
0≤f(x)≤g(x)(x∈E)0\leq f(x)\leq g(x)(x \in E)0≤f(x)≤g(x)(x∈E)
,则
∫Ef(x)dx≤∫Eg(x)dx\int_Ef(x)dx\leq\int_{E}g(x)dx∫Ef(x)dx≤∫Eg(x)dx
.
5.切比雪夫不等式
1.若
0≤A≤f(x)≤B,(x∈E,A,B为常数)0\leq A\leq f(x)\leq B,(x\in E,A,B为常数)0≤A≤f(x)≤B,(x∈E,A,B为常数)
,则
AmE≤∫Ef(x)≤BmEAmE\leq \int_{E}f(x)\leq BmEAmE≤∫Ef(x)≤BmE
2.若
aaa
为正的常数,则
mE(f≥a)≤1/a∫Ef(x)dxmE(f\geq a)\leq1/a \int_Ef(x)dxmE(f≥a)≤1/a∫Ef(x)dx
此式通常称为切比雪夫不等式.
6.
∫Efdx\int_E fdx∫Efdx
=0的充分必要条件
1.
∫Ef(x)dx\int_E f(x)dx∫Ef(x)dx
=0的充分必要条件是
f(x)f(x)f(x)
在E上几乎处处等于0,即
fff
~0与
EEE
.
2.若
∫Ef(x)dx≤∞\int_E f(x)dx\leq \infty∫Ef(x)dx≤∞
,则
f(x)f(x)f(x)
在E上几乎处处有限.
7.
f∈L(E)f\in L(E)f∈L(E)
的充分必要条件
1.设
f(x)f(x)f(x)
是在
EEE
上几乎处处有限的非负可测函数,
m(E)<+∞m(E)<+ \inftym(E)<+∞
,对
[0,+∞)[0,+\infty)[0,+∞)
作如下分法:
0=y0<y1<y2<...yk<yk+1<...,0=y_0<y_1<y_2<...y_k<y_{k+1}<...,0=y0
16.Lebesgue控制收敛定理
设{
fkf_kfk
}是
E∈RnE\in R^nE∈Rn
上几乎处处收敛的可测函数列,
limk→∞fk(x)=f(x).\lim_{k \to \infty}f_k(x)=f(x).limk→∞fk(x)=f(x).
若存在非负函数
FFF
,使得
F∈L(F)F\in L(F)F∈L(F)
并且
∣fk(x)∣≤F(x)(x∈E,k=1,2...)|f_k(x)|\leq F(x) (x\in E,k=1,2...)∣fk(x)∣≤F(x)(x∈E,k=1,2...)
,则函数
fff
及所有的
fkf_kfk
都在E上可积,且
limk→∞fk(x)dx存在并等于∫Ef(x)dx.\lim_{k\to \infty}f_k(x)dx存在并等于\int_Ef(x)dx.k→∞limfk(x)dx存在并等于∫Ef(x)dx.
17.有界收敛定理
若
mE<∞mE<\inftymE<∞
,{
fkf_kfk
}是在
EEE
上几乎处处收敛的可测函数列,
limk→∞fk(x)=f(x)(a.e.x∈E),\lim_{k\to \infty}f_k(x)=f(x)(a.e. x\in E),k→∞limfk(x)=f(x)(a.e.x∈E),
并且存在着常数
M>0M>0M>0
,使得
∣fk(x)<M∣(x∈E,k=1,2,....),|f_k(x)<M|(x\in E,k=1,2,....),∣fk(x)